1. x^2-3x+m=0 найдите значение m, если x1, x2 этого уравнения удовлетворяют соотношению 3x1-2x2=142. при каких значениях k уравнение x^2-2k (x+1) - k^2=0 имеет отличные от нуля два совпадающих корня3. при каком значении q сумма кубов корней уравнения x^2-x-q=0 равна 19?

1. Так как сумма корней уравнения по теореме Безу равна трём, то,

вместе с требуемым на корни условием, получим систему из двух

уравнений с двумя неизвестными:

x₁ + x₂ = 3;

3 x₁ - 2 x₂ = 14;

Умножим обе части первого уравнения на 2 и сложим его со

вторым уравнением.

5 x₁ = 20;

x₁ = 4.

Из первого уравнения находим второй корень:

x₂ = - 1.

По теореме Безу произведение корней равно m.

m = - 4.

2. Если квадратное уравнение имеет два не нулевых одинаковых

корня, то его дискриминант равен нулю.

x ² - 2 k (x+1) - k ² = x ² - 2 k x - (k ² + 2 k) = 0;

D = k ² + (k ² + 2 k) = 2 k ² + 2 k = k (k + 1) = 0;

При k = 0 оба корня равны нулю, что не соответствует условию

задачи. При k = - 1;

x_1,2 = 1.

3. Найдём сумму кубов корней. Для этого разложим сумму кубов

корней на слагаемые по формуле бинома Ньютона:

(x₁ + x₂) ³ = x₁³ + 3 x₁² x₂ + 3 x₁ x₂² + x₂³;

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂) ³ - 3 x₁ x₂ (x₁ + x₂).

В правую часть тождества подставим значения произведения и

суммы корней уравнения:

x ² - x - q = 0.

По формулам Виета:

x₁ x₂ = - q;

x₁ + x₂ = 1.

Получим:

x₁³ + x₂³ = 1 + 3 q = 19.

q = 6.