Решите уравнение sin2x=cos (4) x/2-sin (4) x/2

Выполним преобразование тригонометрического выражения:

sin 2x = cos⁴ (x/2) - sin⁴ (x/2);

Формула разности квадратов:

sin 2x = (cos² (x/2) + sin² (x/2)) (cos² (x/2) - sin² (x/2));

Применим формулу основного тождества тригонометрических функций:

cos² (x/2) + sin² (x/2) = 1;

Подставим:

sin 2x = (cos² (x/2) - sin² (x/2));

Формула двойного аргумента тригонометрических функций:

cos² (x/2) - sin² (x/2) = cos x;

Подставим:

sin 2x = cos x;

sin 2x - cos x = 0;

Формула двойного аргумента тригонометрических функций:

sin 2x = 2sin x cos x;

Подставим:

2sin x cos x - cos x = 0;

Вынесем общий множитель cos х:

cos x (2sin x - 1) = 0;

Произведение равно нулю, если:

1) cos х = 0;

х1 = π/2 + πn, n ∈ Z;

2) 2sin x - 1 = 0;

2sin x = 1;

sin x = 1/2;

х = ( - 1) m arcsin (1/2) + πm, m ∈ Z;

х2 = ( - 1) ^m π/6 + πm, m ∈ Z;

Ответ: х1 = π/2 + πn, n ∈ Z, х2 = ( - 1) ^m π/6 + πm, m ∈ Z.