Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Пусть собственная скорость баржи равна х км/ч, тогда скорость баржи по течению реки равна (х + 5) км/ч, а скорость баржи против течения реки равна (х - 5) км/ч. Баржа прошла по течению реки 40 км за 40 / (х + 5) часов, а против течения реки баржа прошла 30 км за 30 / (х - 5) часов. По условию задачи известно, что баржа на весь путь потратила (40 / (х + 5) + 30 / (х - 5)) часов или 5 часов. Составим уравнение и решим его.

40 / (х + 5) + 30 / (х - 5) = 5;

40 (х - 5) + 30 (х + 5) = 5 (х - 5) (х + 5);

40 х - 200 + 30 х + 150 = 5 (х^2 - 25);

70 х - 50 = 5 х^2 - 125;

5 х^2 - 70 х - 125 + 50 = 0;

5 х^2 - 70 х - 75 = 0;

х^2 - 14 х - 15 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 14^2 - 4 * 1 * 15 = 196 + 60 = 256; √D = 16;

х = ( - b ± √D) / (2a);

x1 = (14 + 16) / 2 = 30/2 = 15 (км/ч) - скорость баржи;

х2 = (14 - 16) / 2 = - 2/2 = - 1 - скорость не может быть отрицательная.

Ответ. Собственная скорость баржи равна 15 км/ч.

Для решения этой задачи, нам надо учесть, что при движении по течению скорость течения реки увеличивает скорость движения баржи, а при движении против течения - уменьшает.

Задание основных параметров

Введем следующие обозначения:

х - собственная скорость баржи; t = 5 час - время, затраченное на весь путь; S1 = 40 км - путь баржи по течению; S2 = 30 км - путь баржи против течения;

Тогда:

V1 = (х + 5) км/ч - скорость баржи по течению;

V2 = (х - 5) км/ч - скорость баржи против течения;

Составление и решение уравнения

Составим уравнение:

S1/V1 + S2/V2 = 5;

40 / (х + 5) + 30 / (х - 5) = 5;

Приведем к общему знаменателю и домножим на него обе части.

Общий знаменатель (х + 5) (х - 5);

40 · (x - 5) + 30 · (x + 5) = 5 · (х + 5) (х - 5);

40 · (x - 5) + 30 · (x + 5) = 5 · (x^2 - 25);

40x - 200 + 30x + 150 = 5x^2 - 125;

5x^2 - 70x - 75 = 0;

х^2 - 14x - 15 = 0;

D = 196 + 60 = 256;

x1 = (14 + 16) / 2 = 15;

х2 = (14 - 16) / 2 = - 1 - не удовлетворяет условию;

Значит собственная скорость баржи равна x = 15 км/ч;

Ответ: Собственная скорость баржи равна x = 15 км/ч.