при каких значениях параметра а уравнение корень (sinx) + корень (cos x) = а имеет решение

1. Обозначим:

f (x) = √sinx + √cosx,

и исследуем функцию на промежутке [0, π/2].

2. Найдем критические точки:

f' (x) = 1/2 * cosx/√sinx - 1/2 * sinx/√cosx = 1/2 (cosx/√sinx - sinx/√cosx).

a) В точках x = 0 и x = π/2 производная не определена;

b) f' (x) = 0;

cosx/√sinx - sinx/√cosx = 0; cosx/√sinx = sinx/√cosx; cos^2 (x) / sinx = sin^2 (x) / cosx; cos^3 (x) = sin^3 (x); tg^3 (x) = 1; tg (x) = 1; x = π/4, точка максимума.

3. Значения функции в критических точках:

f (0) = √sin0 + √cos0 = √0 + √1 = 1; f (π/2) = √sin (π/2) + √cos (π/2) = √1 + √0 = 1; f (π/4) = √sin (π/4) + √cos (π/4) = √ (1/√2) + √ (1/√2) = 2 * 2^ (-1/4) = 2^0,75. fmin = 1; fmax = 2^0,75.

4. Область значений функции:

fmin ≤ f (x) ≤ fmax; 1 ≤ f (x) ≤ 2^0,75; f (x) ∈ [1; 2^0,75].

5. Следовательно, уравнение √sinx + √cosx = a имеет решение при значениях параметра:

a ∈ [1; 2^0,75].

Ответ: [1; 2^0,75].