Решите уравнение X^3-4x^2-16x+64=0

Нужно решить уравнение x^3 - 4x^2 - 16x + 64 = 0, переменная в котором находится в третьей степени. Решать уравнение будем, используя тождественные преобразования.

Алгоритм действий для решения уравнения сгруппируем попарно первое со вторым, третье с четвертым слагаемые; вынесем в каждой полученной скобку общий множитель; представим выражение в левой части уравнения в виде произведения; проанализируем полученное уравнение и перейдем к решению двух уравнений; решаем два уравнения: линейное и неполное квадратное и записываем ответ. Представим в виде произведения левую часть уравнения

Сгруппируем попарно первое слагаемое со вторым и третье слагаемое с четвертым.

Получим,

(x^3 - 4x^2) - (16x - 64) = 0;

Вынесем из первой скобки общий множитель x^2, а из второй 16, получим:

x^2 (x - 4) - 16 (x - 4) = 0;

Теперь мы можем представить в виде произведения левую часть уравнения, вынеся за скобки выражения (х - 4):

(х - 4) (x^2 - 16) = 0;

Анализируем полученное уравнения и перейдем к решению линейного и неполного квадратного уравнения

Итак, мы получили уравнение в правой части уравнения которого стоит ноль, а в левой произведение двух скобок.

Известно, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Значит, чтобы найти все решения уравнения перейдем к решению двух уравнений:

1) х - 4 = 0;

х = 4.

2) x^2 - 16 = 0;

Представим в виде произведения левую часть уравнения, используя формулу сокращенного умножения - разность квадратов:

(x - 4) (x + 4) = 0;

x - 4 = 0;

x = 4;

x + 4 = 0;

x = - 4.

Ответ: х = 4 и х = - 4.

Сгруппируем первую и вторую неизвестную уравнения и вторую и третью, с первой части вынесем x^2 за скобки а со второй - 16, имеем:

x^2 (x - 4) - 16 (x - 4) = 0, вынесем общий множитель (x - 4) за скобки:

(x^2 - 16) * (x - 4) = 0, первый множитель - формула сокращенного умножения квадратов разности, упростим выражение:

(x - 4) * (x + 4) * (x - 4) = 0;

(x - 4) ^2 * (x + 4) = 0, произведение двух множителей равняется нулю, если хотя бы один равен нулю, имеем:

(x + 4) = 0, х = - 4;

(x - 4) ^2 = 0, x - 4 = 0, х = 4.

Ответ: х = 4; - 4.