Найти точки максимума и минимума f (x) = -x3+6x2 + 15x+1

1. Вычислим производную функции и найдем критические точки:

f (x) = - x^3 + 6x^2 + 15x + 1;

f' (x) = - 3x^2 + 12x + 15;

f' (x) = - 3 (x^2 - 4x - 5);

f' (x) = 0;

x^2 - 4x - 5 = 0;

D/4 = 2^2 + 5 = 9;

x = 2 ± √9 = 2 ± 3;

x1 = 2 - 3 = - 1;

x2 = 2 + 3 = 5.

2. Знаки производной на промежутках:

a) x ∈ (-∞; - 1), f' (x) <0; b) x ∈ (-1; 5), f' (x) > 0; c) x ∈ (5; ∞), f' (x) < 0.

3. Точки экстремума:

a) в точке x = - 1 функция от убывания переходит к возрастанию, следовательно:

x = - 1 - точка минимума;

b) в точке x = 5 функция от возрастания переходит к убыванию, следовательно:

x = 5 - точка максимума.

Ответ:

a) точка минимума: - 1; b) точка максимума: 5.