При каких натуральных n число 2n+65 является квадратом натурального числа 2n - n стоит в степени

Запишем задачу с применением записи степени:

2^n + 65 = m^2, где m натуральное число.

Так как числа 2^n оканчиваются на числа 2, 4, 8, 6, 2, 4, и так далее.

Теперь прибавим к эти числам число 5 (от числа 65), получим следующие числа: 7, 9, 3, 1, и так далее.

Так как квадрат натурального числа не оканчивается на числа 7, и 3, то подходят в разряде единиц числа 4 и 6, то есть это 2^2 = 2, 4^2 = 16.

4 + 65 = 69, это не квадрат числа.

16 + 65 = 81 = 9^2. Значит, при n = 4, 4^2 = 16, 16 + 65 = 81.

При n = 10, 2^10 = 1024, 1024 + 65 = 1089 = 33^2.