Найдите наименьшее натуральное число, которое: 1. заканчивается на 17, 2. делится на 17 без остатка, 3. сумма всех цифр числа равна 17.

1. Ищем натуральное число n в виде:

n = [k17] = 100k + 17,

где квадратные скобки означают не умножение, но цифры числа n.

Заметим, что значение k = 0 не удовлетворяет третьему условию, поэтому рассматриваем лишь натуральные значения k.

2. Проверяем второе условие:

n ≡ 0 (mod 17); 100k + 17 ≡ 0 (mod 17); 100k ≡ 0 (mod 17); k ≡ 0 (mod 17); k = 17m1, m1 ∈ N. (1)

3. Третье условие. Пусть N (x) - сумма цифр числа x. Тогда:

N (n) = 17; N ([k17]) = 17; N (k) + N (17) = 17; N (k) + 1 + 7 = 17; N (k) = 9.

4. Сумма цифр числа k равна 9, поэтому k делится на 9:

k = 9m2, m2 ∈ N. (2)

Из равенств (1) и (2) получим:

k = 9 * 17m = 153m, m ∈ N. (3)

Наименьшее значение k будет при m = 1:

k = 153 * 1 = 153; n = [k17] = 15317.

Ответ: 15317.