Диагональ прямоугольника равна 15 см. если одну из его сторон уменьшить на 6 см, а другую уменьшить на 8 см, то периметр уменьшится в 3 раза. найдите стороны прямоугольника.

Введем обозначения, пусть стороны прямоугольника равны х и у. Две соседние стороны и диагональ прямоугольника составляют прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора:

х² + y² = 15²; x² + y² = 225.

Выразим периметр прямоугольника: Р = 2 (х + у).

Уменьшим стороны прямоугольника, стороны будут равны (х - 6) и (у - 8).

Выразим периметр полученного прямоугольника: Р_нов = 2 (х - 6 + у - 8) = 2 (х + у - 14).

Полученный периметр получился в 3 раза меньше, составим уравнение:

3 * 2 (х + у - 14) = 2 (х + у). Упростим уравнение:

6 х + 6 у - 84 = 2 х + 2 у.

6 х - 2 х + 6 у - 2 у = 84.

4 х + 4 у = 84. Поделим уравнение на 4:

х + у = 21.

Получилась система уравнений: x² + y² = 225; х + у = 21.

Выразим х из второго уравнения и подставим в первое:

х = 21 - у.

(21 - у) ² + y² = 225.

441 - 42 у + у² + y² = 225.

2 у² - 42 у + 216 = 0.

у² - 21 у + 108 = 0.

D = 441 - 432 = 9 (√D = 3);

у₁ = (21 - 3) / 2 = 9.

у₂ = (21 + 3) / 2 = 12.

х₁ = 21 - 9 = 12, х₂ = 21 - 12 = 9.

Ответ: стороны прямоугольника равны 12 см и 9 см.