В вершинах куба записаны восемь различных чисел. Докажите, что хотя бы одно из них меньше среднего арифметического трёх соседних чисел (соседними называют числа, записанные на концах одного ребра).

Пусть х-наименьшее число, находящееся в одной из вершин, тогда соседними

будут числа х+а, х+b, х+с, где а, b, с - некоторые числа. Найдем их среднее

арифметическое

(х+а+х+b+х+с) / 3=3 х (а+b+с) / 3=3 х/3 + (а+b+с) / 3 = х + (а+b+с) / 3,

Эта сумма будет больше, чем х, что и нужно доказать.