Решите уравнение 3*9^x-5*6^x+2*4^x=0

1. Чтобы решить показательное уравнение, воспользуемся свойством степени:

3 * 9^x - 5 * 6^x + 2 * 4^x = 0;

3 * 3^2x - 5 * 3^x * 2^x + 2 * 2^2x = 0;

2. Раздели каждый член равенства на 3^2x:

(3 * 3^2x) / 3^2x - (5 * 3^x * 2^x) / 3^2x + (2 * 2^2x) / 3^2x = 0;

3 - (5 * 2^x) / 3^x + (2 * 2^2x) / 3^2x = 0;

3 - 5 * (2/3) ^x + 2 * (2/3) ^2 х = 0;

3. Выполним замену:

(2/3) ^x = у > 0;

3 - 5 * у + 2 * у^2 = 0;

2 у^2 - 5 у + 3 = 0;

4. Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = ( - 5) ^2 - 4 * 2 * 3 = 25 - 24 = 1;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (5 - √1) / 2 * 2 = (5 - 1) / 4 = 4 / 4 = 1;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (5 + √1) / 2 * 2 = (5 + 1) / 4 = 6 / 4 = 3/2;

5. Найдем х:

(2/3) ^x = у;

Если у = 1, то:

(2/3) ^x = 1;

(2/3) ^x = 2/3^0;

х1 = 0;

Если у = 3/2, то:

(2/3) ^x = 3/2;

(2/3) ^x = 2/3^ ( - 1);

х2 = - 1;

Ответ: х1 = 0; х2 = - 1.