Упростите выражение cos^2a + sin^4a + sin^2a * cos^2a

Для упрощения данного по условию выражения воспользуемся вынесением за скобки общего множителя и основным тригонометрическим тождеством:

sin²α + cos²α = 1.

cos²α + sin⁴α + sin²α * cos²α = cos²α + sin²α * (sin⁴α/sin²α + (sin²α * cos²α) / sin²α) = cos²α + sin²α * (sin²α + cos²α) = cos²α + sin²α * 1 = (любое число, умноженное на 1, равно самому себе) = cos²α + sin²α = 1.

В этой задаче необходимо найти значение выражения cos^2a + sin^4a + sin^2a * cos^2a.

Поэтапный алгоритм решения с разложением синуса Преобразуем выражение в такой вид: cos²a + sin⁴a + sin²a * cos²a. Представим выражение таким образом: cos²a + sin ² a * sin²a + sin²a * cos²a. Пусть sin²a = k. Тогда cos²a + k * k + k * cos²a (это нужно для облегченного представления). Выносим общий множитель k за скобки: k (k + cos²a). Имеем, что k (k + cos²a) = sin²a (sin²a + cos²a). Обращаем внимание на сумму из предыдущего пункта. Замечаем, что sin²a + cos²a - это часть основного тригонометрического тождества: sin²a + cos²a = 1. Значит, вместо суммы мы можем подставить 1. Имеем, что sin²a (sin²a + cos²a) = sin²a. Далее возвращаемся к начальному виду выражения. Запишем более кратко изменения: cos²a + sin⁴a + sin²a * cos²a = cos²a + sin²a * sin²a + sin²a * cos²a = cos²a + sin²a (sin²a + cos²a) = cos²a + sin²a. Вновь помечаем, что получившееся выражение является частью основного тригонометрического тождества, поэтому cos²a + sin²a = 1. Поэтапный алгоритм решения с действием на косинусом

Представим выражение из первого алгоритма в таком виде: 1 - sin²a + sin⁴a + sin²a * cos²a.

Преобразуем часть выражения - sin²a + sin²a * cos²a в - sin²a (1 - cos²a).

Определяем, что основное тождество можно представить так: sin²a = 1 - cos²a. Тогда производим замену: - sin²a (1 - cos²a) = - sin²a * sin²a = - sin⁴a.

Получаем, что 1 - sin²a + sin⁴a + sin²a * cos²a = 1 + sin⁴a - sin⁴a = 1 + sin⁴a - sin⁴a = 1.