Log_2 (x-5) + log_2 (x+2) = 0

log ₂ (х - 5) + log ₂ (х + 2) = 0;

1. Найдем ОДЗ:

{х - 5 > 0;

{x + 2 > 0;

x > 5;

x > - 2;

х ∈ (5; + ∞);

2. Основания логарифмов равны, поэтому воспользуемся свойством произведения логарифма:

log₂ (x - 5) (x + 2) = 0;

3. Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

0 = 0 * log ₂20 = log ₂1;

log₂ (x - 5) (x + 2) = log ₂1;

4. Из равенства основания логарифмов следует:

(x - 5) (x + 2) = 1;

2 х + х² - 10 - 5 х - 1 = 0;

х² - 3 х - 11 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 3) ² - 4 * 1 * 11 = 9 + 44 = 53;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (3 - √53) / 2 * 1 = (3 - √53) / 2? не подходит по ОДЗ;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (3 + √53) / 2 * 1 = (3 + √53) / 2;

Ответ: х = (3 + √53) / 2.