Из проволоки длиной 90 см нужно сделать модель призмы с правильным треугольником в основании. Какова должна быть сторона основания призмы, чтобы боковая поверхность ее была наибольшей?

Дана проволока длиной 90 см, значит, периметр призмы (сумма длин всех ребер) будет равна 90 см.

Пусть сторона основания призмы будет равна а, а боковое ребро будет равно b.

У треугольной призмы 6 сторон основания (3 у верхнего основания и 3 у нижнего) и 3 боковых ребра, значит, периметр призмы будет равен: 6 а + 3b = 90.

Выразим отсюда длину бокового ребра:

3b = 90 - 6a.

b = 30 - 2a.

Боковая поверхность призмы - это три прямоугольника, длина которого - это высота призмы (боковое ребро), а ширина - это длина основания призмы.

Значит, площадь одного прямоугольника будет равна S = a (30 - 2a) = 30a - 2a².

Значит, площадь боковой поверхности равна S_бок = 3 * (30a - 2a²) = 90 а - 6 а².

Найдем точку максимума функции через производную:

у' = 90 - 12 а.

у' = 0; 90 - 12 а = 0; 12 а = 90; а = 7,5.

Определим, а = 7,5 - это точка минимума или точка максимума.

Пусть а = 0; у' (0) = 90 - 12 * 0 = 90 (плюс) функция возрастает.

Пусть х = 8; у' (8) = 90 - 12 * 8 = - 6 (минус) функция убывает.

Значит, а = 7,5 - это точка максимума.

Ответ: сторона основания должна быть 7,5 см.