Найдите сумму 6 первых членов геометрической прогрессии если b2=4 иb4=1

Дано: b_n - геометрическая прогрессия;

b₂ = 4, b₄ = 1;

Найти: S₆ - ?

Формула члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^ (n - 1),

где b₁ - первый член геометрической прогрессии, q - её знаменатель, n - количество членов прогрессии.

Запишем с помощью этой формулы второй и четвёртый члены заданной прогрессии:

b₂ = b₁ * q^ (2 - 1) = b₁ * q;

b₄ = b₁ * q^ (4 - 1) = b₁ * q^3.

Т. о., можем составить и решить систему линейных уравнений:

b₁ * q = 4, (1)

b₁ * q^3 = 1 (2)

Выразим из (1) уравнения системы b₁:

b₁ = 4 : q.

Подставим данное выражение во (2) уравнение системы:

4 : q * q^3 = 1;

4 * q^2 = 1;

q^2 = 1/4;

q = ±1/2.

Исходя из того, что четвёртый член прогрессии меньше второго, делаем вывод о том, что заданная прогрессия - убывающая с положительным знаменателем q.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:

S_n = (b_n * q - b₁) / (q - 1);

Шестой член прогрессии вычислим, как: b₆ = b₁ * q^5 = 8 * (1/2) ^5 = 0,25.

Т. о. S₆ = (b₆ * q - b₁) / (q - 1) = (0,25 * (1/2) - 8) / ((1/2) - 1) = (0,125 - 8) / (-0,5) = 15,75.

Ответ: S₆ = 15,75.