Дан треугольник ABC со сторонами: AВ = 9; ВС = 6 и АС = 5. Через сторону АС проходит плоскость М, составляющая с плоскостью треугольника угол в 45°. Найти расстояние между плоскостью М и вершиной В.

Из вершины В опускаем высоту ВN и получаем два прямоугольных треугольника АВN и СBN с общей стороной ВN. СN берем за х и тогда АN = 5 + х.

По теореме Пифагора выводим BN^2 для двух треугольников:

ВN² = АВ² - АN² = 9² - (5 + х) ² = 81 - 25 - 10 * х - х² = 56 - 10 * х - х².

BN² = BC² - CN² = 36 - х².

Приравниваем результаты:

56 - 10 * х - х² = 36 - х².

- 10X - х² + х² = 36 - 56.

- 10 * х = - 20.

х = 2.

Подставляем и находим ВN

BN² = 36 - 2² = 32.

BN = √ (32).

Теперь из вершины В чертим отрезок ВL перпендикулярно плоскости М, это и есть расстояние между плоскостью М и вершиной В.

Рассмотрит треугольник BNL, он прямоугольный и равнобедренный, т. к. ВL перпендикулярно NL и угол ВNL равен 45 по условию.

Опять же по теореме Пифагора выводим ВN²:

BN² = BL² + NL² так как ВN = √ (32) и ВL = NL.

√ (32²) = 2BL².

32 = 2BL².

BL² = 32/2.

BL = √ (16).

BL = 4.

Ответ: расстояние между плоскостью М и вершиной В равно 4.