Найдите корни уравнения: (х+2/x-4) ²+16 (x-4/x+2) ²=17 (x+1/x-3) ²+18 (x-3/x+1) ²=11

1) Разложим х - 4 по формуле разности квадратов:

((х + 2) / (x - 2) (х + 2)) ² + 16 ((x - 2) (х + 2) / (x + 2)) ² = 17.

Скобки (х + 2) можно сократить.

(1 / (x - 2)) ² + 16 (x - 2) ² = 17.

Введем новую переменную, пусть (x - 2) ² = а.

Получается уравнение 1/а + 16 а - 17 = 0.

Приведем к общему знаменателю:

(1 + 16 а² - 17 а) / а = 0.

ОДЗ: а не равно 0.

16 а² - 17 а + 1 = 0.

D = 289 - 64 = 225 (√D = 15).

а₁ = (17 - 15) / 32 = 2/32 = 1/16.

а₂ = (17 + 15) / 32 = 1.

Вернемся к замене (x - 2) ² = а.

а) а = 1/16;

(x - 2) ² - 1/16 = 0. Разложим по формуле разности квадратов:

(х - 2 - 1/4) (х - 2 + 1/4) = 0.

х - 2,25 = 0; х = 2,25.

Или х - 1,75 = 0; х = 1,75.

б) а = 1;

(x - 2) ² - 1 = 0;

(х - 2 - 1) (х - 2 + 1) = 0.

х - 3 = 0; х = 3.

Или х - 1 = 0; х = 1.

Ответ: корни уравнения 1, 3, 1,75 и 2,25.

2) ((x + 1) / (x - 3)) ² + 18 ((x - 3) / (х + 1)) ² = 11.

ОДЗ: х не равно 3 и х не равно - 1.

Введем новую переменную, пусть ((x + 1) / (x - 3)) ² = а.

Получается уравнение а + 18/а - 11 = 0.

(а² - 11 а + 18) / а = 0.

ОДЗ: а не равно 0.

а² - 11 а + 18 = 0.

D = 121 - 72 = 49 (√D = 7).

а₁ = (11 - 7) / 2 = 2;

а₂ = (11 + 7) / 2 = 9.

Вернемся к замене.

а) а = 2.

((x + 1) / (x - 3)) ² = 2.

((x + 1) / (x - 3)) ² - (√2) ² = 0.

((x + 1) / (x - 3) - √2) ((x + 1) / (x - 3) + √2) = 0.

Отсюда (x + 1) / (x - 3) - √2 = 0;

(х + 1 - √2 х + 3√2) / (х - 3) = 0;

х + 1 - √2 х + 3√2 = 0;

х - √2 х = - (3√2 + 1);

х (1 - √2) = - (3√2 + 1);

х = - (3√2 + 1) / - (√2 - 1) = (3√2 + 1) / (√2 - 1) = (3√2 + 1) (√2 + 1) / (√2 - 1) (√2 + 1) = (6 + √2 + 3√2 + 1) / (2 - 1) = 7 + 4√2.

Или (x + 1) / (x - 3) + √2 = 0;

(х + 1 + √2 х - 3√2) / (х - 3) = 0;

х + √2 х = 3√2 - 1;

х (1 + √2) = 3√2 - 1;

х = (3√2 - 1) / (1 + √2) = (3√2 - 1) (1 - √2) / (1 + √2) (1 - √2) = (3√2 - 1 - 6 + √2) / (1 - 2) = (4√2 - 7) / (-1) = 7 - 4√2.

б) а = 9.

((x + 1) / (x - 3)) ² - 9 = 0.

((x + 1) / (x - 3) - 3) ((x + 1) / (x - 3) + 3) = 0.

Отсюда (x + 1) / (x - 3) - 3 = 0;

(х + 1 - 3 х + 9) / (х - 3) = 0;

-2 х + 10 = 0;

-2 х = - 10; х = 5.

Или (x + 1) / (x - 3) + 3 = 0.

(х + 1 + 3 х - 9) / (х - 3) = 0;

4 х - 8 = 0;

4 х = 8;

х = 2.

Ответ: корни уравнения равны 2, 5, 7 - 4√2 и 7 + 4√2.