sin (arctg 2 + arctg 3)

В задании дано тригонометрическое выражение sin (arctg2 + arctg3), которого обозначим через Т. Словесного требования в задании нет. Наверняка, нужно вычислить значение Т. Воспользуемся следующими формулами: arctgx = arcsin (x / √ (x² + 1)), где х ∈ (-∞; + ∞) и arctgx = arccos (1 / √ (x² + 1)), где х ∈ [0; + ∞). Имеем: arctg2 = arcsin (2 / √ (2² + 1)) = arcsin (2 / √ (5)) и arctg3 = arcsin (3 / √ (3² + 1)) = arcsin (3 / √ (10)). Аналогично, arctg2 = arccos (1 / √ (2² + 1)) = arccos (1 / √ (5)) и arctg3 = arccos (1 / √ (3² + 1)) = arccos (1 / √ (10)). Теперь применим формулу sin (α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ (синус суммы). Тогда, получим: Т = sin (arctg2 + arctg3) = sin (arctg2) * cos (arctg3) + cos (arctg2) * sin (arctg3) = sin (arcsin (2 / √ (5))) * cos (arccos (1 / √ (10))) + cos (arccos (1 / √ (5))) * sin (arcsin (3 / √ (10))). Приведём очевидные и напрямую следующие формулы из определений арксинуса и арккосинуса: для а ∈ [-1; 1] справедливы sin (arcsin (a)) = a и cos (arccos (a)) = a. Имеем Т = (2 / √ (5)) * (1 / √ (10)) + (1 / √ (5)) * (3 / √ (10)) = (2 * 1) / (√ (5) * √ (10)) + (1 * 3) / (√ (5) * √ (10)) = (2 + 3) / (√ (5² * 2)) = √ (2) / 2.

Ответ: √ (2) / 2.