1) найдите наименьшее натуральное число, которая при делении на 28 дает остаток 21, а при делении на 19 - остоток 17

Ясно, что наименьшим числом, которое при делении на 28 дает остаток 21, является число 21. Последующие числа, которые при делении на 28 дает остаток 21 могут получаться путём прибавления к 21 сколь угодно раз (например, m раз) числа 28. Такие рассуждения можно сделать и для 19 и 17. Все числа, которые при делении на 19 дает остаток 17 могут получаться путём прибавления к 17 сколь угодно раз (например, n раз) числа 19. Итак, нужно найти такие натуральные m и n, чтобы выполнялось равенство 21 + 28 * m = 17 + 19 * n или 19 * n = 28 * m + 4, откуда 19 * n = 4 * (7 * m + 1). Поскольку 19 не делится на 4, то число n должно делиться на 4. Это утверждение позволяет в 4 раза сократить проверки первых натуральных чисел. Итак, нужно присвоить m числа 4, 8, 12 и так далее, вычислить 28 * m + 4 и проверить полученный результат на делимость на 19. Напомним, что число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19. При m = 4, имеем 28 * m + 4 = 28 * 4 + 4 = 116. Проверка делимости на 19 показывает, что 11 + 2 * 6 = 23 не делится на 19. Переходим к m = 8, имеем 28 * m + 4 = 28 * 8 + 4 = 228. Проверка делимости на 19 показывает, что 22 + 2 * 8 = 38 делится на 19. Итак, при m = 8, получим 21 + 28 * m = 21 + 28 * 8 = 21 + 224 = 245. Для проверки 245 делим на 19 с остатком: 245 : 19 = 12 (остаток 17).

Ответ: 245.