Y=-x^3/3-x^2/4+3x-2 найти промежутки монотонности этой функции

Рассмотрим функцию y = - x³ / 3 - x² / 4 + 3 * x - 2. По требованию задания, найдём промежутки монотонности данной функции. Прежде всего, отметим, что данная функция y = у (х) = - x³ / 3 - x² / 4 + 3 * x - 2 определена для всех х ∈ (-∞; + ∞). Кроме того она дифференцируема для любого х из области определения. Обратимся к дифференциальному исчислению и исследуем данную функцию на монотонность. С этой целью вычислим производную у' (х) = (-x³ / 3 - x² / 4 + 3 * x - 2) ' = (-x³ / 3) ' - (x² / 4) ' + (3 * x) ' - 2' = - 3 * x² / 3 - 2 * x / 4 + 3 * 1 - 0 = - x² - ½ * x + 3. Приравнивая к нулю производную, составим и решим следующее квадратное уравнение - x² - ½ * x + 3 = 0. Найдем дискриминант составленного квадратного уравнения: D = (-0,5) ² - 4 * (-1) * 3 = 0,25 + 12 = 12,25. Поскольку дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = (0,5 - √ (12,25)) / (2 * (-1)) = (0,5 - 3,5)) / (-2) = (-3) / (-2) = 1,5 и x₂ = (0,5 + √ (12,25)) / (2 * (-1)) = (0,5 + 3,5)) / (-2) = (4) / (-2) = - 2. Определим знак производной для точек из следующих интервалов и укажем поведение данной функции в рассматриваемом интервале. При х ∈ (-∞; - 2) (например, если х = - 4, то у' (-4) = - (-4) ² - ½ * (-4) + 3 = - 16 + 2 + 3 = - 11 < 0) справедливо у' (х) < 0. Следовательно, в промежутке (-∞; - 2) функция y = - x³ / 3 - x² / 4 + 3 * x - 2 монотонно убывает. Аналогично, при х ∈ (-2; 1,5) (например, если х = 0, то у' (0) = - 0² - ½ * 0 + 3 = 0 + 0 + 3 = 3 > 0) справедливо у' (х) > 0. Следовательно, в промежутке (-2; 1,5) данная функция монотонно возрастает. Наконец, при х ∈ (1,5; + ∞) (например, если х = 4, то у' (4) = - (4) ² - ½ * 4 + 3 = - 16 - 2 + 3 = - 15 < 0) справедливо у' (х) < 0. Следовательно, в промежутке (1,5; + ∞) исследуемая функция монотонно убывает.