Найди при каком значении параметра n сумма квадратов корней уравнения x2-2nx+22n2+8n=0 будет наибольшей?

1. Квадратное уравнение имеет решение при неотрицательном дискриминанте:

x^2 - 2nx + 22n^2 + 8n = 0; D/4 = n^2 - (22n^2 + 8n) = n^2 - 22n^2 - 8n = - 21n^2 - 8n; - 21n^2 - 8n ≥ 0; 21n^2 + 8n ≤ 0; n (21n + 8) ≤ 0; n1 = - 8/21; n2 = 0; n ∈ [-8/21; 0].

2. При этом, для корней уравнения выполняется теорема Виета:

{x1 + x2 = 2n;

{x1 * x2 = 22n^2 + 8n.

3. Для суммы квадратов корней имеем:

S (n) = x1^2 + x2^2 = (x1 + x2) ^2 - 2x1x2; S (n) = (2n) ^2 - 2 (22n^2 + 8n) = 4n^2 - 44n^2 - 16n = - 40n^2 - 16n.

Наибольшее значение получим в вершине параболы:

n (max) = - b/2a = - 16/80 = - 1/5 = - 0,2 ∈ [-8/21; 0].

Ответ: n = - 0,2.