Доказать, что 3 в степени 2004 плюс 15 делится на 24

1. Найдем период степеней числа 3 по модулю 24 с помощью сравнений:

3^1 ≡ 3 (mod 24); 3^2 ≡ 9 (mod 24); 3^3 ≡ 27 ≡ 3 (mod 24); 3^4 ≡ 9 (mod 24); 3^5 ≡ 3 (mod 24); 3^6 ≡ 9 (mod 24) и т. д.

2. Как видим, период равен 2, поэтому для четных степеней остаток будет 9:

3^2004 ≡ 9 (mod 24). (1)

3. Прибавим к обеим частям сравнения (1) число 15:

3^2004 + 15 ≡ 9 + 15 = 24 (mod 24); 3^2004 + 15 ≡ 0 (mod 24). (2)

4. Из сравнения (2) следует, что левая часть делится без остатков на 24, что и требовалось доказать.