Найдите точку минимума функции y = x^3-27x^2+15

1. Найдем первую производную функции:

у' = (х^3 - 27 х^2 + 15) ' = 3 х^2 - 54 х.

2. Приравняем эту производную к нулю и найдем нули функции:

3 х^2 - 54 х = 0;

х * (3 х - 54) = 0;

х = 0;

3 х - 54 = 0;

3 х = 54;

х = 54 : 3;

х = 18.

3. Найдем значение производной, на отрезках (-∞ 0]; (0; 18]; (18; + ∞):

у' (-1) = 3 * (-1) ^2 - 54 * (-1) = 3 + 54 = 57 > 0;

у' (1) = 3 * 1^2 - 54 * 1 = 3 - 54 = - 51 < 0;

у (19) = 3 * 19^2 - 54 * 19 = 1083 - 1026 = 57 > 0.

Производная при прохождении точки х = 18, меняет свой знак с минуса на плюс, это и будет точка минимума.

Ответ: точка минимума х = 18.