Высота конуса равна 9 см, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите объем конуса.

Объем конуса вычисляется по следующей формуле:

V = 1/3πR²H, где R - радиус основания конуса, H - высота конуса.

Рассмотрим треугольник, который образуют между собой высота, радиус и образующая конуса. Данный треугольник является прямоугольным. Гипотенузой в нем является образующая. Угол между образующей и высотой равен половине угла при вершине конуса. Найдем его:

60º / 2 = 30º.

Как известно в прямоугольном треугольнике против угла в 30º лежит катет равный половине гипотенузы, то есть радиус равен половине образующей. Обозначим радиус за x, тогда теорему Пифагора для данного треугольника можно записать так:

(2x) ² = x² + 9².

Решим это уравнение:

(2x) ² = x² + 9²,

4x² - x² = 81,

3x² = 81,

x² = 81 / 3,

x² = 27,

x1,2 = ±√27,

x1,2 = ±3√3.

В данном случае нужен только положительное значение, то есть радиус основания равен 3√3 см. теперь найдем объем конуса:

V = 1/3 * π * (3√3) ² * 9 = 3 * 27 * π = 81π ≈ 254,47 см³.

Ответ: объем конуса примерно равен 254,47 см³.