Является ли последовательность, заданной формулой n-ого члена b (n) = 32*2^-2n, геометрической прогрессией. Если является то найдите её знаменатель и первый член.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

bn = b1 * q (n-1), где b1 - первый член прогрессии, а q - ее знаменатель

Выражение 32 * 2-2n = 32 / 22n = 32 / 4n = 32 / (4 * 4n-1) = 8 / 4n-1 = 8 * (1/4) n-1;

Следовательно, заданное выражение может являться формулой геометрической прогрессии

с первым членом, равным 8 и знаменателем 1/4.

В этой задаче нужно определить: является ли последовательность геометрической, и найти знаменатель и первый член последовательности, если это так

Преобразуйте формулу последовательности

b_n = 32 * 2^-2n = 32/2²ⁿ = 2⁵ / (2ⁿ) ² = 2³/2ⁿ = 2^3-n;

Выясните, является ли последовательность геометрической прогрессией

Для того, чтобы выяснить, является ли последовательность геометрической прогрессией, воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии: (b_n) ² = b_{n - 1 *} b_{n + 1};

n = 3, n = 4, n = 5: b3 = 2^{3 - 3} = 2⁰ = 1; b₄ = 2^{3 - 4} = 2^-1 = 1/2; b₅ = 2^{3 - 5} = 2^-2 = 1/4; (b₄) ² = (1/2) 2 = 1/4; b₃ * b5 = 1 * 1/4 = 1/4; 1/4 = 1/4.

Последовательность является геометрической прогрессией.

Найдите первый член геометрической прогрессии

Подставив вместо n в данную нам формулу n-ого члена, находим первый член последовательности: b₁ = 2^{3 - 1} = 2² = 4.

b1 = 4.

Найдите знаменатель геометрической прогрессии

По известной формуле находим знаменатель: q = b_{n + 1}/b_n, q = 1/4 : 1/2 = 1/4 * 2 = 2/4 = 1/2.

q = 1/2.