Решите уравнение: 3/x^2+4x-15/x^2-4x=4/x

Чтобы решить уравнение содержащее дробь, найдем общий знаменатель:

3 / (х² + 4 х) - 15 / (х² - 4 х) = 4/х;

3/х (х + 4) - 15/х (х - 4) - 4/х = 0;

Общий знаменатель - х (х + 4) (х - 4).

3/х (х + 4) * х (х + 4) (х - 4) / х (х + 4) (х - 4) - 15/х (х - 4) * х (х + 4) (х - 4) / х (х + 4) (х - 4) - 4/х * х (х + 4) (х - 4) / х (х + 4) (х - 4) = 0;

(3 (х - 4) - 15 (х + 4) - 4 (х + 4) (х - 4)) / х (х + 4) (х - 4) = 0;

Найдем ОДЗ:

х (х + 4) (х - 4) ≠ 0;

х1 ≠ 0;

х + 4 ≠ 0;

х2 ≠ - 4;

х - 4 ≠ 0;

х3 ≠ 4;

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю:

3 (х - 4) - 15 (х + 4) - 4 (х + 4) (х - 4) = 0;

3 х - 15 х - 60 - 4 (х² - 16) = 0;

3 х - 15 х - 60 - 4 х² + 64 = 0;

- 4 х² - 12 х + 4 = 0;

х² + 3 х - 1 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = (3) ² - 4 * 1 * ( - 1) = 9 + 4 = 13;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 3 - √13) / 2 * 1 = ( - 3 - √13) / 2;

х2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 3 + √13) / 2 * 1 = ( - 3 + √13) / 2;

Ответ: х1 = ( - 3 - √13) / 2, х2 = ( - 3 + √13) / 2.