sin^3x+cos^3, если sinx+cosx=a

1. Возведем в квадрат и в куб заданное тригонометрическое равенство:

sinx + cosx = a; (1)

1)

(sinx + cosx) ^2 = a^2; sin^2x + 2sinx * cosx + cos^2x = a^2; 2sinx * cosx + 1 = a^2; sin2x = a^2 - 1. (2)

2)

(sinx + cosx) ^3 = a^3; sin^3x + cos^3x + 3sinx * cosx (sinx + cosx) = a^3; sin^3x + cos^3x + 3/2 * sin2x (sinx + cosx) = a^3. (3)

2. Подставим значения sinx + cosx и sin2x в уравнение (3):

sin^3x + cos^3x + 3/2 * (a^2 - 1) * a = a^3; sin^3x + cos^3x = a^3 - 1,5a^2 + 1,5.

Ответ: a^3 - 1,5a^2 + 1,5.