Сумма трех чисел, составлящих геометрическую прогрессию, равна 3, а сумма их квадратов=21. Найти эти числа

Question

Дарья Кочетова

Математика

3 сентября, 13:10

Сумма трех чисел, составлящих геометрическую прогрессию, равна 3, а сумма их квадратов=21. Найти эти числа

+5

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Матвей Лаптев · Answer 1

1. Для геометрической прогрессии B (3) известно:

2. Сумма трех членов (чисел) равна: S3 = B1 + B2 + B3 = B1 + B1 * q + B1 * q² = B1 * (1 + q + q²) = 3; 3. Вычислим сразу (все записывать не буду) : S3² = (B1 * (1 + q + q²) ² = 3² = B1² * (1 + q + q^4) + 2 * q * B1² * (1 + q + q²) = 9; 4. Сумма квадратов чисел: Sk = B1² + B2² + B3² = B1² + (B1 * q) ² + (B1 * q²) ² = B1² * (1 + q² + q^4) = 21; 5. Вычитаем: S3² - Sk = (B1² * (1 + q + q^4) + 2 * q * B1² * (1 + q + q²)) - (B1² * (1 + q² + q^4)) = 9 - 21; 2 * q * B1² * (1 + q + q²) = - 12; (B1 * q) * (B1 * (1 + q + q²) = - 6; B2 * S3 = - 6; B2 = (-6) / S3 = (-6) / 3 = - 2; 6. Преобразуем сумму трех чисел: S3 = B1 + B2 + B3 = B1 + (-2) + B1 * q² = 3; B1 * (1 + q²) = 3 + 2 = 5; (B1 * q) * (1 + q²) = 5 * q; (-2) * (1 + q²) = 5 * q; 7. Решаем уравнение: 2 * q² + 5 * q + 2 = 0; q1,2 = (-5 + - sqrt ((-5) ² - 4 * 2 * 2) / (2 * 2) = (-5 + - 3) / 4; 8. q1 = (-5 + 3) / 4 = - 0,5; B1 = B2 / q = (-2) / (-0,5) = 4; B2 = - 2; B3 = B2 * q = (-2) * (-0,5) = 1; 9. q2 = (-5 - 3) / 4 = - 2; B1 = B2 / q = (-2) / (-2) = 1; B2 = - 2; B3 = B2 * q = (-2) * (-2) = 4; (зеркала) Ответ: числа 1, - 2, 4.