Составьте уравнение касательной к графику функции ln (х^2+2x) в точке с абсциссой х=2

1. Найдем производную функции:

y = ln (х^2 + 2x);

y' (x) = (x^2 + 2x) ' / (х^2 + 2x); y' (x) = (2x + 2) / (x (х + 2)); y' (x) = 2 (x + 1) / (x (х + 2)).

2. Вычислим значения функции и производной в точке с абсциссой х0 = 2:

y0 = y (2) = ln (2^2 + 2 * 2) = ln (4 + 4) = ln8 = 3ln2; y' (2) = 2 (2 + 1) / (2 (2 + 2)) = 2 * 3/8 = 3/4.

3. Уравнение касательной к графику функции в точке (x0; y0):

(y - y0) / (x - x0) = y' (y0);

(y - 3ln2) / (x - 2) = 3/4;

y - 3ln2 = (3/4) (x - 2);

y = 3ln2 + 3x/4 - 3/2;

y = 3x/4 + 3ln2 - 3/2.

Ответ: y = 3x/4 + 3ln2 - 3/2.