Sin^4x-cos^4x=1/2 [-60; 0]

Решим данное тригонометрическое уравнение sin⁴x - cos⁴x = 1/2, хотя об этом явного требования в задании нет. Наличие в конце описания задания записи "[-60; 0]", видимо, следует понять следующим образом: "Выделить те решения уравнения, которые принадлежат множеству [-60°; 0°]". Преобразуем левую часть данного уравнения следующим образом: sin⁴x - cos⁴x = (sin²x) ² - (cos²x) ². Применим к полученному выражению формулу сокращенного умножения (a - b) * (a + b) = a² - b² (разность квадратов). Тогда с учётом формул cos (2 * α) = cos²α - sin²α (косинус двойного угла) и sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество), данное уравнение примет вид: (sin²x - cos²x) * (sin²x + cos²x) = 1/2 или - cos (2 * х) = 1/2, откуда cos (2 * х) = - 1/2. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующие две серии решений: 2 * х = 120° + 360° * n, где n - целое число; 2 * х = - 120° + 360° * m, где m - целое число. Следовательно, решениями данного уравнения являются: х = 60° + 180° * n и х = - 60° + 180° * m, где n и m - целые числа. Теперь выделим те решения, которые принадлежат множеству [-60°; 0°]. А) Для первой серии получим: - 60° ≤ 60° + 180° * n ≤ 0° или - 120° ≤ 180° * n ≤ - 60°, откуда - 2/3 ≤ n ≤ - 1/3. Этому двойному неравенству не удовлетворяет ни одно целое число n. Следовательно, среди решений первой серии нет решения, принадлежащего множеству [-60°; 0°]. Б) Для второй серии получим: - 60° ≤ - 60° + 180° * m ≤ 0° или 0° ≤ 180° * m ≤ 60°, откуда 0 ≤ m ≤ 1/3. Этому двойному неравенству удовлетворяет только одно целое число m = 0. Следовательно, х = - 60° является решением, принадлежащим множеству [-60°; 0°].