2sin^2x+2sin2x=3 решить уравнение

Перенесем все значения в левую часть:

2sin²x + 2sin2x = 3;

2sin²x + 2sin2x - 3 = 0;

Применим формулу основного тождества тригонометрических функций:

1 = sin²x + cos²x;

2sin²x + 2sin2x - 3 (sin²x + cos²x) = 0;

2sin²x + 2sin2x - 3sin²x - 3cos²x = 0;

- sin²x + 2sin2x - 3cos²x = 0;

sin²x - 2sin2x + 3cos²x = 0;

Применим формулу двойного аргумента тригонометрической функций:

sin2x = 2sinxcosx;

sin²x - 2 * 2sinxcosx + 3cos²x = 0;

Разделим равенство на cos²x ≠ 0;

sin²x/cos²x - 2 * 2sinxcosx/cos²x + 3cos²x/cos²x = 0;

tg²x - 4tgx + 3 = 0;

Выполним замену tgx = у:

y² - 4y + 3 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 4) ² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (4 - √4) / 2 * 1 = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (4 + √4) / 2 * 1 = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3;

Тогда, если у1 = 1, то:

tgx = 1;

х = arctg (1) + πn, n ∈ Z;

х1 = π/4 + πn, n ∈ Z;

если у2 = 3, то:

tgx = 3;

х2 = arctg (3) + πn, n ∈ Z;

Ответ: х1 = π/4 + πn, n ∈ Z, х2 = arctg (3) + πn, n ∈ Z.