составить уравнение касательной к графику функции у = (3 х-2) / (х+1) параллельных прямой, проходящей через точки (1; 8) и (-1; -2)

Составим уравнение прямой, проходящей через точки (1; 8) и (-1; - 2).

Уравнение прямой имеет вид у = kx + b.

у = 8; х = 1. 8 = k + b.

у = - 2; х = - 1. - 2 = - k + b.

Получается система уравнений: 8 = k + b и - 2 = - k + b. Выразим b из первого уравнения и подставим во второе.

b = 8 - k.

-2 = - k + 8 - k.

-2k = - 10.

k = 5; b = 8 - 5 = 3.

Уравнение прямой имеет вид у = 5 х + 3.

Найдем точки, через которые пройдет касательная к графику функции, параллельная прямой.

Находим производный обеих функций и приравниваем.

у = (3 х - 2) / (х + 1); у' = ((3 х - 2) ' (х + 1) - (3 х - 2) (х + 1) ') / (х + 1) ² = (3 (х + 1) - (3 х - 2)) / (х + 1) ² = (3 х + 3 - 3 х + 2) / (х + 1) ² = 5 / (х + 1) ².

у = 5 х + 3; у' = 5.

5 / (х + 1) ² = 5;

(х + 1) ² = 1.

x² + 2 х + 1 = 1.

x² + 2 х = 0;

х (х + 2) = 0.

х = 0 или х = - 2.

Уравнение касательной имеет вид у = f (x₀) + f' (x₀) (x - x₀).

1) х₀ = 0.

f (x₀) = f (0) = (3 х - 2) / (х + 1) = (3 * 0 - 2) / (0 + 1) = - 2.

f' (x₀) = f' (0) = 5 / (х + 1) ² = 5 / (0 + 1) ² = 5.

Уравнение касательной: у = - 2 + 5 (х - 0) = 5 х - 2.

2) х₀ = - 2.

f (x₀) = f (-2) = (3 * (-2) - 2) / (-2 + 1) = 8.

f' (x₀) = f' (-2) = 5 / (-2 + 1) ² = 5.

Уравнение касательной: у = 8 + 5 (х + 2) = 5 х + 18.

Ответ: у = 5 х - 2 и у = 5 х + 18.