1. Определить I a + b I и I a - b I векторов a = (3; -1; 3), b = (3; 2; 4).2. Векторы a и b образуют угол4π. Зная, что I a I = 5, I b I = 8, вычислить угол между векторами p = a + b иq = a - b

1. Определим модуль суммы векторов a + b и модуль разности векторов a - b, если вектор

a = (3; - 1; 3), b = (3; 2; 4).

Для начала найдем координаты вектора a + b, они равны сумме соответствующих координат:

a + b = (3 + 3; - 1 + 2; 3 + 4) = (6; 1; 7).

Теперь найдем координаты вектора a - b = (3 - 3; - 1 - 2; 3 - 4) = (0; - 3; - 1).

Найдем их модули, которые вычисляются по формуле:

∣a∣ = √ (x² + y² + z²), где x, y, z координаты вектора.

∣a + b∣ = √ (6² + 1² + 7²) = √86. ∣a - b∣ = √ (0² + (-3) ² + (-1²)) = √10.

2. Для вычисления угла между векторами p = a + b и q = a - b воспользуемся формулой:

Косинус угла между векторами a и b равен скалярному произведению векторов, деленному на произведение модулей этих векторов. Поэтому сначала найдем скалярное произведение векторов p и q, а затем их модули.

p * q = (a + b) (a - b) = a² - b² = 5² - 8² = 25 - 64 = - 39.

|p| = |a + b|² = a² + 2ab + b² = 5² + 2 * 20 + 8² = 129 ⇒|a + b| = √129.

|q| = |a - b|² = a² - 2ab + b² = 5² - 2 * 20 + 8² = 49 ⇒|a - b| = √49 = 7.

cos (p^q) = (p * q) / (|p| * |q|) = - 39 / (√129 * 7) = - (3 * 13) / (√3 * 43 * 7) = - √903/301.

p^q = arccos (-√903/301).