Решить неравенство 25^x+5^x-2<=0

Воспользуемся свойством степеней и преобразуем показательное неравенство:

25 ^х + 5 ^х - 2 ≤ 3;

5 ^{2 х} + 5 ^х - 2 ≤ 3;

Выполним замену у = 5 ^х , у > 0 и решим квадратное уравнение:

у² + y - 2 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * ( - 2) = 1 + 8 = 9;

D › 0, значит квадратное уравнение имеет два корня:

y1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 1 - √9) / 2 * 1 = ( - 1 - 3) / 2 = - 4 / 2 = - 2;

y2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 1 + √9) / 2 * 1 = ( - 1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1;

+ - +

---• ( - 2) - --• (1) - --

y ∈ [ - 2; 1];

Составим систему уравнений:

{ - 2 ≤ y ≤ 1;

{y > 0;

Значит, 0 ≤ y ≤ 1;

Подставим нашу переменную назад:

у = 5 ^х ;

0 ≤ 5 ^х ≤ 1;

0 ≤ 5 ^х , верно при любом значении х;

5 ^х ≤ 5 ⁰;

х ≤ 0;

Ответ: х ∈ ( - ∞; 0].