Дима меняет число, записанное на доске, по следующим правилам: если число делится на 3, то он вычитает из него 2; если число дает остаток 1 при делении на 3, то он вычитает из него 1; если число дает остаток 2 при делении на 3, то он прибавляет к нему 2. Дима начинает с числа 1001. Какое число будет на доске после 500 таких операций?

Несколько первых изменений числа, чтобы установить закономерность:

1) 1001 при делении на 3 дает в остатке 2, значит, это число надо увеличить на 2: 1001 + 2 = 1003;

2) 1003 при делении на 3 дает в остатке 1, значит, это число надо уменьшить на 1: 1003 - 1 = 1002;

3) 1002 делится на 3 без остатка, значит, это число надо уменьшить на 2: 1002 - 2 = 1000;

4) 1000 при делении на 3 дает в остатке 1, значит, это число надо уменьшить на 1: 1000 - 1 = 999;

5) 999 делится на 3 без остатка, значит, это число надо уменьшить на 2: 999 - 2 = 997;

и т. д.

Как мы видим, после третьего шага число попеременно уменьшается на 1 и 2. Таким образом, за каждые два шага после первого число уменьшается на 3. Всего операций 500, первая из них дает число 1003, следующие 498 уменьшают число на 498/2*3 = 747, и последняя операция такая же, как и второй шаг, т. е. уменьшение на 1. Итак, после проведения 500 операций Дима получит число:

1003 - 747 - 1 = 255.

Ответ: 255.