Пять футбольных команд провели турнир. Каждая команда сыграла с каждой по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью - 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Четыре команды набрали соответственно 1, 2, 5 и 7 очков. Сколько очков набрала пятая команда?

1. Для удобства рассуждений обозначим игру между командами i и j с соответствующим исходом:

[i; j] = (0; 3), [i; j] = (3; 0), [i; j] = (1; 1).

2. Для первых четырех команд возможны следующие результаты по набранным очкам:

1) 1 = 0 + 0 + 0 + 1; 2) 2 = 0 + 0 + 1 + 1; 3) 5 = 0 + 1 + 1 + 3; 4) 7 = 0 + 1 + 3 + 3.

3. Поскольку у первых двух команд нет выигрышей, то они сыграли вничью:

[1; 2] = (1; 1), следовательно: [1; 3] = (0; 3); [1; 4] = (0; 3); [1; 5] = (0; 3).

4. У третьей команды единственный выигрыш с первой командой, значит, со второй сыграла вничью:

[3; 2] = (1; 1), следовательно: [2; 4] = (0; 3); [2; 5] = (0; 3).

5. У четвертой команды два выигрыша с первой и второй, значит, с третьей сыграла вничью:

[4; 3] = (1; 1), следовательно: [3; 5] = (0; 3); [4; 5] = (0; 3).

6. В результате получим, что пятая команда выиграла все игры и получила 12 очков.

Ответ: 12 очков.