В турнире, где каждые две команды встретились между собой по 2 раза, участвовали 4 команды. За победу в каждой встречи давалось 2 очка, за ничью - одно, за поражение - 0. Команда, занявшая последнее место, набрала 5 очков. Сколько очков набрала команда, занявшая 1 место?

Определим, сколько всего встреч было проведено в рамках турнира.

Всего в турнире участвовали 4 команды. Присвоим командам условные номера, с первого по четвертый.

Первая команда два раза встретилась со второй, два раза с третьей и два раза с четвертой. Итого 6 встреч.

Рассматривая вторую команду, мы не будем считать её встречи с первой командой. Ведь мы их уже посчитали. Вторая команда два раза встретилась с третьей и два раза с четвертой. Итого 4 встречи.

Рассматривая третью команду, мы не будем считать её встречи с первой и второй командами. Ведь мы их уже посчитали. Третья команда два раза встретилась с четвертой. Итого 2 встречи.

Рассматривать четвертую команду нет смысла, так как все её встречи с другими командами мы уже посчитали.

Подсчитаем общее количество встреч, проведенных в рамках турнира:

6 + 4 + 2 = 12

В результате каждой встречи одна команда могла победить другую, либо они могли сыграть вничью. Если одна команда побеждала другую, то команда-победитель получала два очка, а проигравшая команда не получала очков. Если команды сыграли вничью, обе они получали по одному очку. Значит, в любом случае две команды после каждой встречи в сумме получали 2 очка.

При этом встреч было 12. Подсчитаем общее количество очков, присужденных всем командам за время турнира:

2 * 12 = 24

Из условия задачи понятно, что есть только одна команда-победитель и только одна команда, занявшая последнее место. А вот насчет двух оставшихся команд, которые получили средние места, ничего не сказано. Они вполне могли набрать равное количество очков.

Команда, занявшая последнее место, получила 5 очков. Значит, команда, занявшая предпоследнее место, получила как минимум 6 очков. Команда, занявшая второе место, тоже набрала как минимум 6 очков (если две команды набрали по шесть очков, то они разделили между собой второе место, которое и стало предпоследним). Команда, занявшая первое место, получила как минимум 7 очков.

Предположим, что каждая команда набрала именно то минимальное количество очков, которое мы указали. Сколько очков тогда набрали бы все команды в сумме?

5 + 6 + 6 + 7 = 24

Это число совпадает с общим количеством очков, которое мы ранее нашли. Значит, каждая команда действительно могла набрать только то минимальное количество очков, которое мы указали. Ведь в противном случае общее количество очков увеличилось бы.

Таким образом, команда-победитель могла набрать только 7 очков.

Ответ: 7 очков.