20 б! Решите: sinx+sin3x=4cos³x

Воспользуемся формулой двух синусов. Из уравнения sin х + sin 3 х = 4cos³ x получим равносильное уравнение:

2 * sin [ (х + 3x) / 2] * cos [ (3 х - x) / 2] = 4cos³ x, то есть:

sin 2 х * cos x = 2cos³ х, что равносильно:

2sin x * cos x * cos x = 2cos³ x, отсюда:

(sin х - cos х) * cos² x = 0.

Равенство верно при cos x = 0 или при sin x - cos x = 0.

В первом случае имеем x = пи/2 + пи * k, где k - целое.

Во втором случае имеем sin x = cos x, то есть tg x = 1.

Отсюда: x = пи/4 + пи * k, где k - целое.

Ответ: х = пи/2 + пи * k, k ∈ Z; или x = пи/4 + пи * k, k ∈ Z.