При каком значении переменной выражение корень (х+2) (х-6) имеет смысл?

Выражение √ ((x + 2) (x - 6)) имеет смысл, если под знаком корня будет положительное число или 0.

(x + 2) (x - 6) ≥ 0 - решим неравенство методом интервалов; найдем нули функции, приравняв выражение из левой части неравенства к нулю;

(x + 2) (x - 6) = 0 - произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому приравняем каждый множитель (x + 2) и (x - 6) к нулю;

1) x + 2 = 0;

x = - 2.

2) x - 6 = 0;

x = 6.

Построим числовую прямую, отметим точки ( - 2) и 6. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: 1) ( - ∞; - 2]; 2) [ - 2; 6]; 3) [6; + ∞]. Выражение (x + 2) (x - 6) принимает положительные значения на 1 и 3 промежутках, а на 2 промежутке - отрицательные. Значит наше выражение √ ((x + 2) (x - 6)) имеет смысл на ( - ∞; - 2] и [6; + ∞].

Ответ. ( - ∞; - 2] и [6; + ∞].