3sin^2x+3sinxcosx+2cos^2x=1

Используя формулу sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество) перепишем данное уравнение в виде 3 * sin²x + 3 * sinx * cosx + 2 * cos²x = sin²x + cos²x или 2 * sin²x + 3 * sinx * cosx + cos²x = 0. Предположим, что cosx ≠ 0. Разделим обе части последнего уравнения на cos²x и воспользуемся формулой: tgα = sinα / cosα. Тогда, получим: 2 * tg²х + 3 * tgх + 1 = 0. Введём новую переменную у = tgх. Тогда наше уравнение примет вид: 2 * у² + 3 * у + 1 = 0. Это уравнение является квадратным уравнением, дискриминант D которого равен D = 3² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1. Поскольку D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня: у₁ = (-3 - √ (1)) / (2 * 2) = - 4 : 4 = - 1 и у₂ = (-3 + √ (1)) / (2 * 2) = - 2 : 4 = - 1/2. Исследуем каждый корень по отдельности. При у = - 1, имеем: tgх = - 1. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующие две серии решений: х = - π/4 + 2 * π * m, где m - целое число и х = 3 * π/4 + 2 * π * n, где n - целое число. При у = - 1/2, имеем: tgх = - 1/2. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующее решение: х = arctg (-1/2) + π * k, где k - целое число. Нечётность арктангенса позволяет переписать это решение в виде: х = - arctg (1/2) + π * k, где k - целое число.

Ответ: х = - π/4 + 2 * π * m, х = 3 * π/4 + 2 * π * n, х = - arctg (1/2) + π * k, где m, n и k - целые числа.