Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а сумма катетов-14 см. Найдите площадь треугольника.

Обозначим стандартно катеты буквами А и В, гипотенузу буквой С. Составим систему уравнений. Первое вытекает из условия:

А + В = 14.

Для составления второго используем теорему Пифагора:

А² + В² = 10².

Из первого выразим А:

А = 14 - В.

Подставим во второе:

(14 - В) ² + В² = 100.

Упростим его:

14² - 2 х 14 х В + В² + В² = 100;

196 - 28 х В + 2 х В² - 100 = 0;

В² - 14 х В + 48 = 0.

Решаем квадратное уравнение Находим дискриминант:.

Д = 14² - 4 х 1 х 48;

Д = 196 - 192;

Д = 4.

А корни равны:

В1 = (14 + 2) / 2 = 8 (см);

В2 = (14 - 2) / 2 = 6 (см).

Откуда второй катет будет равен:

А1 = 14 - 8 = 6 (см);

А2 = 14 - 6 = 8 (см).

Видим, что они взаимно обратимые и площадь треугольника от этого не поменяется какую бы мы пару ни взяли:

S = 1/2 х А1 х В1;

S = 1/2 х 6 х 8;

S = 24 (см²).

Ответ: площадь треугольника равна 24 см².