В геометрической прогрессии cn=54; q=3; Sn=80 2/3. Найти с1 и n.

Применим формулу n - ного члена геометрической прогрессии.

Cn = C1 * q⁽ⁿ^-1) , где С1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - порядковый номер.

54 = С1 * 3⁽^n-1) .

C1 = 54 / 3⁽^n-1) = 54 * 3 / 3ⁿ = 162 / 3ⁿ.

Применим формулу суммы первых членов геометрической прогрессии.

Sn = C1 * (1 - qⁿ) / (1 - q).

80 (2/3) = (162 * (1 - 3ⁿ) / 3ⁿ * (1 - 3).

(242/3) * 3n * (-2) = 162 * (1 - 3ⁿ).

242 * 3n = 243 * (3ⁿ - 1).

242 * 3n = 243 * 3ⁿ - 243.

3ⁿ = 243 = 3⁵.

n = 5.

C1 = 162 / 3⁵ = 162/243 = 2/3.

Ответ: n = 5, C1 = 2/3.