Найти квадратный трехчлен ах2 + бх + с, который в точках 1983,1985,1986 приобретает соответственно значений 2,0,2

Рассмотрим квадратный трехчлен а * х² + b * х + с. Согласно условия задания, получим следующие три уравнения относительно трёх неизвестных: а * 1983² + b * 1983 + с = 2, а * 1985² + b * 1985 + с = 0, а * 1986² + b * 1986 + с = 2. Используя первое и третье равенства получим: а * 1983² + b * 1983 + с = а * 1986² + b * 1986 + с или (1986² - 1983²) * а + (1986 - 1983) * b = 0. Применяя формулу сокращенного умножения (a - b) * (a + b) = a² - b² (разность квадратов), имеем: 3 * 3969 * а + 3 * b = 0, откуда b = - 3969 * а. Подставляя это выражение во второе уравнение, находим: а * 1985² - (3969 * а) * 1985 + с = 0, откуда с = а * 1985 * (3969 - 1985) = 1985 * 1984 * а. Найденные выражения для b и с, подставим в первое уравнение. Тогда, получим: а * 1983² - 3969 * а * 1983 + 1985 * 1984 * а = 2 или а * (1983 * (1983 - 3969) + 1985 * 1984) = 2, откуда (1985 * 1984 - 1983 * 1986) * а = 2. Докажем, что арифметическое выражение в скобках равно 2. Действительно, если примем 1985 = р, то 1985 * 1984 - 1983 * 1986 = р * (р - 1) - (р - 2) * (р + 1) = р² - р - р² - р + 2 * р + 2 = 2. Следовательно, 2 * а = 2, откуда а = 2 : 2 = 1. Тогда, b = - 3969 * 1 = - 3969 и с = 1985 * 1984. Значит, Квадратный трёхчлен имеет вид: х² + (-3969) * х + 1985 * 1984 = х² - 3969 * х + 3938240.

Ответ: х² - 3969 * х + 3938240.