В круг наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг прямоугольного треугольника, один из углов которого 30 градусов.

1. Пусть R - радиус круга. Тогда гипотенуза AB вписанного в круг прямоугольного треугольника ABC (с прямым углом C и острым углом A = 30°) равна диаметру круга:

AB = 2R.

2. Катет BC, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

BC = 1/2 * AB = 1/2 * 2R = R.

3. Второй катет найдем по теореме Пифагора:

AC = √ (AB^2 - BC^2) = √ ((2R) ^2 - R^2) = √ (3R^2) = R√3.

4. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S (ABC) = 1/2 * AC * BC = 1/2 * R√3 * R = R^2√3/2.

А площадь круга:

S (R) = πR^2.

5. Вероятность попадания в треугольник равна отношению этих площадей:

p = S (ABC) / S (R) = R^2√3/2 : πR^2 = √3 / (2π).

Ответ: √3 / (2π).