Вычислите предел, используя правило Лопиталя. lim tgx-x/sinx-x^2 x->0

В задании требуется вычислить значение предела дробной функции (tgx - x) / (sinx - x²) при х → 0. При вычислении предела требуется использовать правило Лопиталя. По требованию задания вычислим значение данного предела (если, конечно, таковое существует). Как известно, суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённый результат. В нашем случае, предел числителя tgx - x при х → 0 равен tg0 - 0 = 0 - 0 = 0, аналогично, предел знаменателя sinx - x² при х → 0 также равен sin0 - 0² = 0 - 0 = 0. Тем самым имеем дело с неопределённостью вида 0/0. Применим правило Лопиталя. С этой целью, вычислим производные числителя и знаменателя данной дробной функции. Для числителя, используя формулу 1 + tg²α = 1 / cos²α, получим (tgx - x) Ꞌ = (tgx) Ꞌ - хꞋ = 1 / cos²х - 1 = 1 + tg²х - 1 = tg²х. Производная знаменателя равна (sinx - x²) Ꞌ = (sinx) Ꞌ - (x²) Ꞌ = cosx - 2 * x. Заметим, что предел tg²х при х → 0, равен tg²0 = 0² = 0, а предел cosx - 2 * x при х → 0, равен cos0 - 2 * 0 = 1 - 0 = 1. Следовательно, предела (tgx - x) / (sinx - x²) при х → 0, равен 0/1 = 0.

Ответ: 0.