1. При каких значениях x касательная к графику функции y = 1/3x^3 + 1/2x^2 - 6x параллельна прямой y = 6x - 1? 2. В какой точке, касательная проведенная к графику функции y = 1 + e^x-1, составляет угол 45 * с осью OX?

у = 1/3 х^3 + ½ х^2 - 6 х.

Уравнение касательной к графику функции в точке х₀ имеет вид:

у = у' (x₀) (x - x₀) + y (x₀).

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен k = у' (x₀).

Найдем производную функции у = 1/3 х^3 + ½ х^2 - 6 х:

у' = (1/3 х^3 + ½ х^2 - 6 х) ' = 1/3 * 3 х^2 + ½ * 2 х - 6 = х^2 + х - 6.

Производная функции в точке х₀:

у' (х₀) = х₀^2 + х₀ - 6.

Т. к. график касательной должен быть параллелен прямой у = 6 х - 1, то угловые коэффициенты прямых должны быть равны, тогда:

х₀^2 + х₀ - 6 = 6.

Решим уравнение:

х₀^2 + х₀ - 6 - 6 = 0,

х₀^2 + х₀ - 12 = 0,

(х₀ + 4) (х₀ - 3) = 0,

х₀ = - 4,

х₀ = 3.

Ответ: при х = - 4 и х = 3 касательная к графику функции у = 1/3 х^3 + ½ х^2 - 6 х параллельна прямой y = 6x - 1.

y = 1 + e^ (x - 1).

Угловой коэффициент касательной равен k = у' (x₀).

Найдем производную функции у = 1 + e^ (x - 1):

у' = (1 + e^ (x - 1)) ' = e^ (x - 1).

Т. к. график касательной составляет угол 45⁰ с осью ОХ, то k = tg 45⁰ = 1. Получим:

e^ (x - 1) = 1,

х - 1 = 0,

х = 1.

Ответ: в точке х = 1 касательная проведенная к графику функции y = 1 + e^ (x - 1), составляет угол 45⁰ с осью OX.