Решить уравнение cos4x-cos2x = 0, указать корни, принадлежащие отрезку [П/2; 2 П]

cos4x - cos2x = 0. Представим 4 х как (2 * 2 х), получается уравнение cos (2 * 2x) - cos2x = 0.

Преобразуем выражение по формуле косинуса двойного угла:

2cos^2 (2x) - 1 - cos2x = 0.

Введем новую переменную, пусть cos2x = а.

2 а^2 - a - 1 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 2; b = - 1; c = - 1;

D = b^2 - 4ac; D = (-1) ^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9 (√D = 3);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (1 - 3) / (2 * 2) = - 2/4 = - 1/2.

а₂ = (1 + 3) / 4 = 4/4 = 1.

Возвращаемся к замене cos2x = а.

1) cos2x = - 1/2, 2 х = ±2 П/3 + 2 Пn (делим на 2), х = ±П/3 + Пn, n - целое число.

2) cos2x = 1; 2 х = 2 Пn, х = Пn, n - целое число.

При помощи числовой прямой или единичной окружности находим корни уравнения, принадлежащие промежутку [П/2; 2 П]: П, 2 П, 4 П/3, 2 П/3, 5 П/3.