Решить неравенство log1/4 (x+1) >-3/2

1. Область допустимых значений переменной:

log1/4 (x + 1) > - 3/2; (1) x + 1 > 0; x > - 1; x ∈ (-1; ∞).

2. В неравенстве (1) основание логарифма меньше единицы, значит, логарифмическая функция убывает, поэтому меняем знак неравенства:

x + 1 < (1/4) ^ (-3/2); x + 1 < 4^ (3/2); x + 1 < (4^ (1/2)) ^3; x + 1 < 2^3; x + 1 < 8; x < 8 - 1; x < 7; x ∈ (-∞; 7).

3. Пересечение с областью допустимых значений:

{x ∈ (-1; ∞);

{x ∈ (-∞; 7); x ∈ (-1; 7).

Ответ: (-1; 7).