У=7x^3-6x^2+12x+8 найти промежутки убывания и возрастания функции

Прежде всего, отметим, что областью D (y) определения данной функции у = у (х) = 7 * x³ - 6 * x² + 12 * x + 8 является D (y) = (-∞; + ∞). Найдём производную данной функции. Имеем: уꞌ = уꞌ (х) = (7 * x³ - 6 * x² + 12 * x + 8) ꞌ = (7 * x³) ꞌ - (6 * x²) ꞌ + (12 * x) ꞌ + 8ꞌ = 7 * 3 * x² - 6 * 2 * х + 12 * 1 + 0 = 21 * x² - 12 * х + 12. Как известно, согласно достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции, если производная функции положительна (отрицательна) для всех x ∈ (а; b), то функция возрастает (убывает) на (а; b). Для определения промежутков возрастания и убывания функции у (х), по достаточному признаку, решим неравенства 21 * x² - 12 * х + 12 > 0 и 21 * x² - 12 * х + 12 < 0 или сокращая на 3 оба неравенства: 7 * x² - 4 * х + 4 > 0 и 7 * x² - 4 * х + 4 < 0. Составим квадратное уравнение 7 * x² - 4 * х + 4 = 0. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = (-4) ² - 4 * 7 * 4 = 16 - 112 = - 96. Так как дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных решений. Это означает, что квадратный трёхчлен не может быть представлен в виде произведения двух линейных множителей. Выделим его полный квадрат. Имеем: 7 * (x² - 2 * (2/7) * x + (2/7) ²) - 7 * (2/7) ² + 4 = 7 * (x - 2/7) ² + 33/7 ≥ 0 + 33/7 > 0. Итак, решением неравенства 21 * x² - 12 * х + 12 > 0 является D (y) = (-∞; + ∞), а неравенство 21 * x² - 12 * х + 12 < 0 не имеет решений. Другими словами, функция у = 7 * x³ - 6 * x² + 12 * x + 8 на всей области определения является возрастающей.

Ответ: Данная функция на всей области определения является возрастающей.