В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Сторона основания пирамиды равно 6 см. Найдите объем пирамиды

Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат. Обозначим его АВСD, а вершину пирамиды буквой S.

Диагональ основания вычислим по теореме Пифагора:

АС^2 = 6^2 + 6^2 = 72 (см^2).

AC = 6√2 см.

Пусть середина диагонали в точке О.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA.

Так как пирамида правильная, то высота пирамиды опустится в точку О, значит

АО = АС/2 = 3√2 (см).

Тогда по теореме синусов высота пирамиды равна:

SO = AO * tg45 = 3√2 * 1 = 3√2 (см).

Объём правильной четырёхугольной пирамиды:

V = (1/3) * SO * AC^2 = (1/3) * 3√2 * (6√2) ^2 = 36 * 2 * √2 = 72√2 (см^3).